Proposition :
Soit \(a\) un endomorphisme dont la matrice est \(A\)
Puisque \({\Bbb K}[X]\) est euclidien, il existe une suite de polynômes unitaires \(\Pi_1|\Pi_2|\dots|\Pi_n\) tels que : $${{X\operatorname{Id}- A}}\approx{{\begin{pmatrix}\Pi_1&&(0)\\ &\ddots\\ (0)&&\Pi_n\end{pmatrix}}}$$
La forme carrée et l'absence de \(0\) sur la diagonale provient du caractère inversible de \(X\operatorname{Id}-A\)
Ces polynômes sont appelés invariants de similitude de l'endomorphisme \(a\)
Théorème
Théorème de décomposition de Frobenius :
Soient \(\Pi_1,\dots,\Pi_n\) les invariants de similitude de l'endomorphisme \(a\) et soit \(V_a\) le \({\Bbb K}[X]\)-module associé
Alors $$V_a\simeq{{\bigoplus^n_{i=1}{\Bbb K}[X]/\Pi_i{\Bbb K}[X]}}$$
(//Théorème de Kronecker - Théorème de structure des groupes abéliens de type fini)
Conséquences
Caractérisation des endomorphismes semblables
Corollaire :
Les endomorphismes \(a\) et \(b\) sont semblables ss'ils ont les mêmes invariants de similitude
Polynôme caractéristique
Proposition :
Le polynôme caractéristique d'un endomorphisme peut être donné par ses invariants de similitude : $${{\chi_a}}={{\Pi_1\dots\Pi_n}}$$
Polynôme minimal
Proposition :
Le polynôme minimal d'un endomorphisme peut être donné par ses invariants de similitude : $${{\mu_a}}={{\Pi_1}}$$
Caractère semblable dans des sous-corps
Proposition :
Si \(k\subset{\Bbb K}\) et \(A,B\in\mathcal M_n(k)\), alors \(A\) et \(B\) sont semblables dans \(\mathcal M_n(k)\) si et seulement si elles sont semblables dans \(\mathcal M_n({\Bbb K})\)
